正文
会议通知程序查到一条标题含有“变更”的记录，我们会自然地想，这场会议是不是改期了？但“标题里出现变更”与“会议确实改期”，并不是同一件事。也可能只是地点变更，或者标题沿用了旧名称。
如果想用数据说明两者的关系，就需要把“在什么范围里，什么事情发生的可能性”说清楚。
先准备一个完全假设的例子。我们有 100 条会议记录，已经人工核对过是否改期，也检查了标题有没有“变更”字样。数据如下：
| 会议情况 | 有“变更”字样 | 没有“变更”字样 | 合计 |
|---|---|---|---|
| 已改期 | 8 | 12 | 20 |
| 未改期 | 2 | 78 | 80 |
| 合计 | 10 | 90 | 100 |
这些数字只为讲解构造，不代表某个真实日历的统计结果。我们再约定，从这 100 条记录中随机抽取一条，每条被抽中的机会相同。
现在，“抽到哪一条记录”有 100 种可能结果。全部可能结果组成的范围，叫样本空间；其中满足某个条件的结果集合，叫事件。比如，“抽到一场已改期会议”就是一个事件。
概率用来为事件分配可能性，数值在 0 到 1 之间。 在这个等机会抽取的有限例子里，一个事件的概率，可以用满足条件的记录数除以总记录数。
把“已改期”记作 A，那么 P(A)=20/100=0.2，也就是 20%。P 是概率的常见记号，括号里写我们关心的事件。
这里的 20%，准确地说，是按约定从这批记录抽取时，抽到已改期会议的概率。不能跳过数据来源与抽取方式，直接把它当成任何团队今后会议的改期概率。
在这批记录中，“未改期”正好是 A 的补事件，也就是剩下的全部情况，概率为 1−20%=80%。能够直接相减，是因为这里的两类互不重叠，又覆盖了全部记录；任意选两个不同名称的事件，并不一定有这样的关系。
等机会这个前提也很重要。如果程序更常抽取某些记录，就不能只按条数计算。更不能因为一件事只有“成功”和“失败”两种结果，就推断二者各占 50%；可能结果的名称数，并没有说明它们的概率大小。
接下来，假设我们已经知道抽到的标题有“变更”字样。现在再问它是否改期，范围就发生了变化。
我们不再看全部 100 条，而只看有字样的 10 条。其中 8 条确实改期，所以相应概率是 8/10=80%。
把“标题有变更字样”记作 B，刚才算的就是 P(A|B)，读作“在 B 已知的条件下，A 的概率”。竖线右边是已知条件，左边是仍然关心的事件。
条件概率的关键，是在条件所限定的范围内，重新计算目标事件所占的概率。
它的一般公式是：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，要求 P(B)>0。
A∩B 表示两件事同时成立，符号 ∩ 可以读成“且”。在这张表里，同时改期且标题有字样的记录占全部的 8%，标题有字样的占 10%，因此 0.08/0.10=0.8。条件概率的定义与计算
从 8% 的联合概率变为 80% 的条件概率，并不是会议被我们看过以后才改变。变化的是已经掌握的信息与计算时的范围。这个条件也不要求在时间上先发生，它表达的是“把什么作为已知”，而不是一条事件先后顺序。
分母不能为零，是因为没有概率质量的条件，不能直接用这个除法定义来计算。对于更一般的情况，还需要更完整的数学处理；本篇先理解表格中的正概率条件。
同样两个事件，如果把方向换过来，结果又不同。
P(B|A) 问的是：已知会议改期，标题有“变更”字样的概率是多少？这时分母换成全部已改期的 20 条，结果是 8/20=40%。
80% 与 40% 没有矛盾。前者从有字样的记录里找改期会议，后者从改期会议里找有字样的标题。条件不同，问题就不同。
在实际分析中，这种反向混淆很常见。“真正改期的会议中，多少能被某个标记找出来”，不等于“被标记的会议中，多少真的改期”。下一篇贝叶斯推断，会继续处理这种从观察结果反过来判断的关系。
还可以问一个同时发生的问题：抽到的会议既改期，标题又有字样，概率是多少？
表格直接给出 8/100=8%。它也可以写成 P(A|B)×P(B)，即 80%×10%。注意，不能不加条件地把 P(A) 与 P(B) 相乘；20%×10%=2%，在这里并不是正确答案。
只有满足独立关系时，才有 P(A∩B)=P(A)P(B)。
两个事件独立，表示知道其中一个发生，不改变另一个的概率。 在条件概率有定义时，可以用 P(A|B)=P(A) 来表达。我们的例子里，80% 明显不同于 20%，所以这两个事件并不独立。事件独立与乘法关系
抽取方式也会影响独立性。从这 100 条里连续抽两条且不放回，如果第一条已经是改期记录，剩余 99 条里就只有 19 条改期，下一条的概率变成 19/99。把处理分成两次执行，并不能证明两次结果独立。
独立还容易与“互斥”混淆。互斥表示两个事件不能同时发生。例如，对同一条记录，按本例口径定义的“已改期”和“未改期”不能同时成立。
这与独立不同。既然已知它已经改期，“未改期”的概率就变成零，当然不是保持原来的 80%。对于两个概率都大于零的事件，互斥意味着它们不独立。这里需要保留“都大于零”的条件，不能把这个判断无条件推广到所有事件。
如果问的是“改期，或者标题有字样”，范围又会扩大。直接把 20 条和 10 条相加，会把同时满足的 8 条算两次；减去重复部分，得到 22 条，概率为 22%。
这些计算提醒我们，看到“且”“或”“在……条件下”时，要先辨认问题，再选择对应计算。符号的作用，是把这些关系记清楚，而不是替代对问题的理解。
条件概率也没有自动给出因果关系。标题有字样与改期可能相关，但不能据此证明改标题导致会议时间变化。它们也可能共同来自一次日历更新，或者受到记录习惯等其他因素影响。
数据范围变化，结果也可能变化。客户会议与内部例会的命名方式不同，昨天与今天的改期比例也可能不同。如果把一种环境中的概率直接搬到另一种环境，就需要重新检查这些条件。
从真实数据估计概率时，还会遇到样本有限的问题。我们构造的表格比例很整齐，真实统计却可能受抽样误差、漏标或选择偏差影响。观察到某类情况暂时为零，也不能直接断言它以后永远不会发生。
对单条会议而言，概率也不是提前确定的结论。即使一组具有相似条件的记录中有 80% 改期，当前这条仍需要查看日历依据。概率描述了不确定性，并没有让每一条记录都带着可直接确认的事实答案。
在 Agent 中，这种区分尤其有用。模型可以利用信号安排核查顺序，但“值得优先核查”和“已经确认改期”，对应不同状态。模型说自己很有把握，也不自动等于得到了经过统计验证的概率。
先把事件、条件和分母想清楚，后面的分类指标、模型概率和评估数字就更容易读懂。下一篇继续用一个提醒信号的例子，看看已有比例与新观察怎样结合，形成贝叶斯推断。
当前学习编号：03.04 概率与条件概率。
下一学习编号：03.05 贝叶斯推断。后续还有其他学习编号。
关联分支：概率判断与指标对应 23.04 分类、回归与概率校准指标、23.13 重复试验、稳定性与置信区间；数据条件对应 04.12 类别不平衡、04.13 分布偏移与分布外数据、03.09 抽样误差与置信区间。
模型输出中的概率，另见 11.02 Logits 与 Softmax、11.04 Top-k 与 Top-p。这些支系会在各自编号中单独展开。